Martin Leginus urodził się w Sninie. Studiował dyrygenturę orkiestrową w Państwowym Konserwatorium pod kierunkiem Zdenka Bílka – ostatniego ucznia legendarnego czeskiego dyrygenta Václava Talicha. Studia kontynuował w Akademii Muzyki i Sztuk Scenicznych w Bratysławie pod kierunkiem Ondreja Lenárda.

Od 2006 roku był dyrygentem podczas kilku spektakli w Słowackim Teatrze Narodowym, a już w 2008 roku został jego członkiem. Od 2013 do 2016 roku był dyrektorem muzycznym w Operze Narodowej w Pradze. W sezonie 2015/2016 był pierwszym gościnnym dyrygentem Praskiej Orkiestry Kameralnej. Dyrygował na znanych scenach koncertowych jak Konzerthaus w Wiedniu, Konzerthaus w Berlinie i Bunka Kaikan w Tokio. Dyrygował też 20 wykonaniami La traviaty Verdiego w Japonii podczas udanego tournée z zespołem praskiej Opery Narodowej w październiku 2015 roku. Od 2018 roku współpracuje ze słowacką Sinfonietta Žilina jako główny dyrygent gościnny. Dyrygował następującymi wykonaniami operowymi: Orfeusz i Eurydyka, Marcin i słońce (Tibor Frešo), Carmen, Czarodziejski flet, Cyrulik sewilski, Dwa Foscari, Makbet, Traviata, Aida, Nabucco, Otello, Simon Boccanegra, Rigoletto, Falstaff, Don Carlo, Jaś i Małgosia, Cavalleria Rusticana, Ja Pagliacci, Madama Butterfly, Cyganeria, La Rondine, Manon Lescaut, Tosca, Il Tabarro, Gianni Schicchi, Suor Angelica, Sprzedana Panna Młoda, Rusałka, Kate i Diabeł oraz baletami: Jezioro Łabędzie, Śpiąca Królewna, Dziadek do Orzechów, Romeo i Julia, Kopciuszek, Iwan Groźny, Giselle, La Sylphide i Spartakus.

Współpracował z wieloma legendarnymi solistami, takimi jak: Leo Nucci, Ferruccio Furlanetto, Simon Keenlyside, José Cura, Anna Samuil, Desirée Rancatore, Jana Kurucove, Pavol Breslik, Adriana Kučerová, Sergej Lartin, Dalibor Jenis, Eva Hornyaková, Peter Mikuláš, Eva Urbanová czy Stefan Kocán.